लीनियर एलजेब्रा उदाहरण

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

चरण 1

अभिलक्षणिक समीकरण $p (λ)$ ज्ञात करने के लिए सूत्र सेट करें.

$p (λ) = सारणिक (A - λ I_{2})$

चरण 2

सर्वसमिका मैट्रिक्स या आकार की इकाई मैट्रिक्स $2$ $2 \times 2$ वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्ण और शून्य कहीं और होते हैं.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

चरण 3

ज्ञात मानों को $p (λ) = सारणिक (A - λ I_{2})$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$ को $A$ से प्रतिस्थापित करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

चरण 3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ को $I_{2}$ से प्रतिस्थापित करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से $- λ$ को गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2

मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.2.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.3.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.3.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

चरण 4.2

संबंधित तत्वों को जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

चरण 4.3

Simplify each element.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

चरण 4.3.2

$3$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 & 2 - λ \end{array}]$

चरण 5

Find the determinant.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$2 \times 2$ मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है.

$p (λ) = (2 - λ) (2 - λ) - 3 \cdot 1$

चरण 5.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(2 - λ) (2 - λ)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$p (λ) = 2 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 1$

चरण 5.2.1.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$p (λ) = 2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 1$

चरण 5.2.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$p (λ) = 2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

चरण 5.2.1.2

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.2.1.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$p (λ) = 4 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

चरण 5.2.1.2.1.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$p (λ) = 4 - 2 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

चरण 5.2.1.2.1.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

चरण 5.2.1.2.1.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 1$

चरण 5.2.1.2.1.5

घातांक जोड़कर $λ$ को $λ$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.2.1.5.1

$λ$ ले जाएं.

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 1$

चरण 5.2.1.2.1.5.2

$λ$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 1$

चरण 5.2.1.2.1.6

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 1$

चरण 5.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1$

चरण 5.2.1.2.2

$- 2 λ$ में से $2 λ$ घटाएं.

$p (λ) = 4 - 4 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1$

चरण 5.2.1.3

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = 4 - 4 λ + λ^{2} - 3$

चरण 5.2.2

$4$ में से $3$ घटाएं.

$p (λ) = - 4 λ + λ^{2} + 1$

चरण 5.2.3

$- 4 λ$ और $λ^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 1$

चरण 6

आइगेन मान $λ$ निकालने के लिए विशेषता बहुपद को $0$ के बराबर सेट करें.

$λ^{2} - 4 λ + 1 = 0$

चरण 7

$λ$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 7.2

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = - 4$ और $c = 1$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $λ$ के लिए हल करें.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1

$- 4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.3.1.2.2

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.3.1.3

$16$ में से $4$ घटाएं.

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.3.1.4

$12$ को $2^{2} \cdot 3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.4.1

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.3.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.3.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$λ = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.3.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$λ = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

चरण 7.3.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ को सरल करें.

$λ = 2 \pm \sqrt{3}$

चरण 7.4

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$λ = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

चरण 8

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$λ = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

दशमलव रूप:

$λ = 3.73205080 \dots, 0.26794919 \dots$